Question

已知函数f(x)=ax^3-3x+1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是？？？（求解）

Answer 1

转为求f(x)在区间(0,1]的最小值问题。最小值≥0即可。
1.当a<0时，导数f'(x) = 3ax^2-3 < 0，最小值为f(1) = a-3+1 = a-2 ≥ 0，即a ≥ 2，与假设矛盾。
2.当a>0时，另导数等于0，解得x = ±√1/a (1/a开根号) 负的不考虑。f'(x)在(0,√1/a) < 0，在(√1/a,+∞)>0, ∴f(√1/a)是极小值。若√1/a>1, 即a<1时，f(1)为区间的最小值：a-2 ≥ 0即a≥2，矛盾。 若√1/a ≤ 1（√1/a肯定>0），即a≥1时，f(√1/a)为区间最小值：√1/a-3√1/a+1 ≥ 0即a≥4（取a≥1和a≥4的交集还是a≥4）
3.当a=0时，f(x)=-3x+1单调递减，最小值为f(1) = -3+1=-2不满足要求，所以a≠0.
综上a∈[4,+∞)
补充说一下，最高次幂有参数的一般要考虑参数是否为0,；还有单引号较小，注意看清是原函数还是导函数

Answer 2

求导数 的得 3ax^2 - 3
x∈(0,1]
讨论 a 大于1 大于0小于1 小于零
来考虑 函数的增减性 找到最小值 是最小值 f(x)≥0恒成立，

追问

为什么把a的讨论范围用 0 1分开呢

追答

多想一点， 不会出错
至于可在题上写 看情况 吧

Answer 3