Question

如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC． 求证：AB•BC=AC•CD．

Answer 1

证明：∵BD平分∠ABC

      ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC/2

      又∠ABC＝2∠C

      从而∠ABD＝∠C

     又∠A是△ABC相与△ADB的公共角

     ∴△ABC∽△ADB

     从而AB/AC＝AD/AB ①

     ∵BD平分∠ABC

     ∴AD/AB＝CD/BC　②

     由①②得AB/AC＝CD/BC

     ∴AB•BC=AC•CD

Answer 2

证明：∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC。∴∠ABD=∠DBC=½∠ABC=∠C。
在ΔABD和ΔACB中
∵∠A=∠A，∠ABD=∠C, ∴ΔABD∽ΔACB, ∴AB/AC=BD/BC。
又已证∠DBC =∠C，∴DC=DB。故AB/AC=DC/BC。
∴AB•BC=AC•CD．