Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+b的图像在点p(1,0)处的切线与直线3x+y+2=0平行

已知函数f(x)=x^3+ax^2+b的图像在点p(1,0)处的切线与直线3x+y+2=0平行，（1）求a,b的值（2）求函数f(x)的单调区间（3）求函数f(x)在区间[0,t](t>0)上的蕞小值和最大值

Answer 1

第一问 求导 导数=-3 解出a 代点(1，0)解出b
第二问 求导 令导数=0 解得 x的，值
第三问 最小值 代比较 x=0 2 t 即可

Answer 2

1）f′(X)=3X²＋2aX将1代人，得
f′(1)=3+2a=﹣3∴a=﹣3
f(1)=﹣2+b
y－(﹣2+b)＝﹣3(X－1)∴b=2
f(X)=X³－3x²＋2
f′(X)=3X²－6X=3X(X－2)
当X∈[0,2]时f′(X)<0 f(X)单调递减
当X∈(﹣∞,0)∪(2,+∞)时f′(X)＞0 f(X)单调递增
2）当t∈﹙0,2﹚时f（X）max=f(0)=2 f(X)min=f(t)=t³－3t²＋2
当t∈[2,4)时f(X)max=f(0)=2 f(X)min=f(2)=﹣2
当t∈[4,﹢∞﹚时f(X)max=f(t)=t³－3t²＋2 f(X)min=f(2)=﹣2