Question

求方程y''＋(y')²＝2e∧(-y)的通解！

求方程y''＋(y')²＝2e∧(-y)的通解

Answer 1

解析：
方法一：令y'＝p，则y''＝p*dp/dy，得
p*dp/dy＋p²＝2e∧(-y)
再令p²＝u，则2p*dp/dy＝du/dy.
原方程化为：du/dy＋2u＝4e∧(-y)
这是一阶线性微分方程，由公式可得
u＝e∧(-∫2dy)*［∫4e∧(-y)*e∧(∫2dy)dy＋C1］＝e∧(-2y)（4e∧y＋C1）
从而 y'＝p＝±e∧(-y)√(4e∧y＋C1)
分离变量得
(e∧ydy)/√(4e∧y＋C1)＝±dx
积分得√(4e∧y＋C1)＝±2x＋C2
即4e∧y＋C1＝4x²±4C2x＋C2²
e∧y＝x²＋C1'x＋C2'

方法二：作变换：令e∧y＝u，y＝lnu
则 y'＝(1/u)*u'，y''＝(－1/u²)(u')²＋(1/u)*u''
带入原方程得 u''＝2
两次积分得
u＝x²＋C1x＋C2
故原方程的通解为
e∧y＝x²＋C1x＋C2