Question

已知实数x,y满足x^2+y^2-6x-6y+14=0，求x^2+y^2+2x+3的最大值和最小值

请写一下解答思路及方法和过程.........谢谢～～～～～～～～

Answer 1

x²＋y²－6x－6y＋14=0化为标准方程是：
(x－3)²＋(y－3)²=4 【这个曲线表示以C(3，3)为圆心、以R=2为半径的圆】
设：
M=x²＋y²＋2x＋1
M=(x＋1)²＋y²
则M就表示点P(x，y)到点P(－1，0)的距离的平方，而点P在圆C上，则：
M的最小值是：|CP－R|²=9，M的最大值是|CP＋R|²=49
则：
x²＋y²＋2x＋3的最大值是M＋2=51，最小值是M＋2=11

追问

M的最小值是：|CP－R|²=9，M的最大值是|CP＋R|²=49
为什么要平方？？？？？？？？？？

追答

这个题目要求的是：M=x²＋y²＋2x＋1=(x＋1)²＋y²
而：点P(x，y)与点(－1，0)之间的距离是：d=√[(x＋1)²＋y²]
也就是说，要求的式子M是d²

Answer 2

由x^2＋y^2－6x－6y＋14＝0，得：（x－3）^2＋（y－3）^2＝4。
∴可令x＝3＋2cosu、y＝3＋2sinu。
∴x^2＋y^2＋2x＋3
＝（x＋1）^2＋y^2＋2
＝（3＋2cosu＋1）^2＋（3＋2sinu）^2＋2
＝16＋16cosu＋4（cosu）^2＋9＋12sinu＋4（sinu）^2＋2
＝27＋4［（cosu）^2＋（sinu）^2］＋4（4cosu＋3sinu）
＝31＋20［（4/5）cosu＋（3/5）sinu］。

引入辅助角θ，使cosθ＝4/5、sinθ=3/5，得：
x^2＋y^2＋2x＋3
＝31＋20［（4/5）cosu＋（3/5）sinu］
＝31＋20（cosθcosu＋sinθsinu）
＝31＋20cos（θ－u）。
∴（x^2＋y^2＋2x＋3）的最大值＝31＋20＝51，最小值＝31－20＝11。