Question

已知5m^2+2n^2+2mn+3m-3n=0,求m+n的最大值

得到上面的式子是我在最后一问用m和n表示x，y，然后代回椭圆方程。不过抱歉更正一下，应该是已知5m^2+2n^2+2mn-5m-2n=0

Answer 1

我看到这道题目，第一反应是配方，第二反应是因式分解。
最后感觉因式分解靠谱一点，试试看吧···好像不行的样子···
最后想到一招——主元法！！！
所谓主元法，就是当存在多个变量的时候，令其中一个变量为主元，相当于“未知数”，其他变量相当于“常数”。
就这道题目而言，以m为主元，可得
5m^2+(2n+3)m+(2n^2-3n)=0 一个关于m的二次方程。
判别式>=0，整理可得4n^2-8n-1<=0,n<=1+（根号5除以2）
同理，以n为主元，可得
2n^2+(2m-3)n+(5m^2+3m)=0 一个关于n的二次方程。
判别式>=0，整理可得4m^2+4m-1<=0,m<=-0.5+(根号2除以2）
好了，到这里，以上两个不等式两边相加，就是
m+n<=0.5+（根号2+根号5）/2,等号成立当且仅当
m=-0.5+(根号2除以2）
n=1+（根号5除以2）
所以，m+n的最大值就是0.5+（根号2+根号5）/2
挖掘隐含条件，这是这种题目的要点·····

好吧，我继续回答。蓝色修正字的方程
x1^2+4y1^2=100,其实就是椭圆方程两边同时乘以100，看出来了吧？

追问

非常感谢您的思考和解答！
但是想了很久，我认为您的解法似乎有误，因为关于m和n的两个不等式不能相加，相加会扩大m+n的取值范围（m和n的值并非相互独立而是相互制约的，m和n并不能同时取到最值，比如当m取最大时，把m的值代回原式，n的值其实是确定的，而且可以算得并不是n的最大值）。应设m+n=t，然后将原式化为以t为系数，m（或n）为主元的方程，再利用判别式>=0即可，我试过了，这样结果和答案一样。很高兴和您讨论问题！

追答

这是我的严重失误！！！······真的对不起，好久没做题目了····还好没误人子弟······谢谢······