Question

初中数学题解答（做辅助线的话最好有图，要不介绍得明白一点。）

如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P为AD上一动点,PE垂直于AC,PF垂直于BD,当P点从A向D移动时（不与A、D重合），PF+PE的值怎么改变？加以说明。
（谢绝抄袭！鼓励原创！）

Answer 1

由题意得ABCD面积＝6，AC＝BD＝5，AO＝DO＝2.5

S△AOP＝PE×OA/2

S△DOP＝PF×OD/2

S△AOD＝S□ABCD/4＝12/4＝3

S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝3

　　　　　PE×OA/2＋PF×OD/2＝3

　　　　　PE×OA＋PF×OD＝6

　　　　　(PE＋PF)×2.5＝6

PE＋PF＝2.4

Answer 2

让AP = X PD = 4-x的，从勾股定理，得到AC = BD = 32 42 = 5，在
∵∠PAE =∠CAD和∠在AEP =∠ADC的= 90°
∴RT△AEP∽△ADC;
：∴亚太地区PEDC，
X5 = PE3 ---（1）。
同样RT△DFP广告管理系统∽RT△DAB，
∴4-×5 = PF3 ---（2）。
因此，（1）+（2），我们有45 = PE + PF3
∴PE + PF = 125。另一种解决方案：
了
∵四边形ABCD是长方形的，
∴△OAD等腰三角形，
∴PE + PF平等的△OAD，高腰部和OA，即RT△ADC斜边高
∴PE + PF = 3×45 = 125。

Answer 3

设AP=x，PD=4-x，由勾股定理，得AC=BD=32+42=5，
∵∠PAE=∠CAD，∠AEP=∠ADC=90°，
∴Rt△AEP∽Rt△ADC；
∴APAC=PEDC，
即x5=PE3---（1）．
同理可得Rt△DFP∽Rt△DAB，
∴4-x5=PF3---（2）．
故（1）+（2）得45=PE+PF3，
∴PE+PF=125．
另解：
∵四边形ABCD为矩形，
∴△OAD为等腰三角形，
∴PE+PF等于△OAD腰OA上的高，即Rt△ADC斜边上的高，
∴PE+PF=3×45=125．

Answer 4

利用相似三角形，设PE=h1，PF=h2,AP=x
△AEP∽△ADC，△DFP∽△DAB
h1/3=x/5; h2/3=(4-x)/5
h1=3/5x,h2=3(4-x)/5x
h1+h2=12/5

Answer 5

不变 连接PO，由题易得AO=OD
∴S△APO+S△POD=S△AOD
即AO*PE+AO*PF=4*1.5=6
∴AO(PE=PF)=6
所以PE=PF=6/AO=6/2.5=2.4

追问

1.5是从哪里来的？怎么证明它就是1.5呢？

追答

过O作OG⊥AB
∵AO=BO
∴AG=BG=AB/2=1.5

Answer 6

用面积解也行,连PO,则S△ABO=3,S△ABO=1/2AO.PE+1/2DO.PF=1/2.3(PE+PF) 则PE+PF=1.5 这是等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰的高(定值)的变形