Question

已知数列{an}的前n项和Sn=32n-n²,求证数列{an}是等差数列

已知数列{an}的前n项和Sn=32n-n²,
（1）求证数列{an}是等差数列
（2）设bn=|an|，求数列｛bn｝的前n项和Tn

Answer 1

解由Sn=32n-n²
当n≥2时，S（n-1）=32（n-1）-（n-1）^2+两式相减得an=-2n+33（n≥2）
当n=1时，a1=S1=32*1-1²对an=-2n+33成立
即数列{an}的通项公式an=-2n+33
令an≥0，即n≤16，即bn=an=-2n+33
即an＜0，即n≥17，即bn=-an=2n-33
故当n≤16时Sn=b1+b2+.....+bn=n/2(b1+bn)=n/2(31-2n+33)=n/2(64-2n)=n(32-n)
当n≥17时Sn=b1+b2+b3+b4+b5+.....+b16+b17+....+bn
=(b1+b2+b3+b4+b5+。。。b16)+(b17+....+bn)
=16*(32-16）+（n-16）/2(b17+bn）
=16*16+（n-16）/2(1+2n-33）
=256+(n-16)(n-16)
=n²-32n+512

Answer 2

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Answer 3

Sn=32n-n² Sn-1=32(n-1)-(n-1)² Sn-Sn-1=an=-2n+33=31-2(n-1){an}是首项为31，公差为-2的等差数列 bn=|an|=|-2n+33|当n≤16时Tn=32n-n² 当n≥17时Tn=256+(n-16)²=n²-32n+512