Question

已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点B（14，0）和C（0，-8），对称轴为x=4．（1）求该抛物线的解析

已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点B（14，0）和C（0，-8），对称轴为x=4．（1）求该抛物线的解析式；（2）点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1) 196a+14b+c=0..........(1)；c=-8..........(2)；-b/2a=4..........(3)
三式联立求解得：a=2/21，b=-16/21，c=-8；故得解析式为：
y=(2/21)x²-(16/21)x-8=(2/21)(x²-8x)-8=(2/21)[(x-4)²-16]-8=(2/21)(x-4)²-200/21
(2)令y=(2/21)x²-(16/21)x-8=0，得2x²-16x-168=2(x²-8x-84)=2(x+6)(x-14)=0，故得x₁=-6；x₂=14；
即得A、B两点的坐标为：A(-6，0)；B(14，0)；C(0，-8)；∣AC∣=10；D(4，0)，D在对称轴上。
以t表时间(秒)，那么P点的坐标为P(t-6，0)；
设Q点的运动速度为V(1/秒)；那么Q点的坐标为：x=∣CQ∣cos∠OPB=14vt/√260=7v t /√65；
y=-8+vtsin∠OPB=-8+8vt/√260=-8+4vt/√65；
CD所在直线的斜率KCD=8/4=2，CD所在直线的方程为y=2(x-4)=2x-8..........(1)；
故PQ被直线CD垂直平分的条件为：
PQ的斜率KPQ=(-8+4vt/√65)/[7v t /√65-(t-6)]=(4vt-8√65)/(7vt-t√65+6√65)=-1/2
即有2(4vt-8√65)=-(7vt-t√65+6√65)，化简得15vt-t√65=10√65...........(2)
PQ的中点坐标xo=[(7v t /√65)+t-6]/2；y0=(-8+4vt/√65)/2=-4+2vt/√65满足方程(1)，即有：
-4+2vt/√65=[(7v t /√65)+t-6]-8，化简得5vt/√65+t-10=0；
去分母得5vt+t√65=10√65............(3)

(2)-3×(3)得 -4t√65=-20√65，故得t=5秒；v=(10√65-5√65)/25=(√65)/5(1/秒)≈1.612(1/秒)
即当Q点以每秒(1/5)√65个单位沿CB运动，5秒时PQ被CD垂直平分。
(3)令方程(1)中的x=1，得Y=-6，那么M(1，-6)就能使△MPQ为等腰三角形，因为M在CD上，
而CD是PQ的垂直平分线，故MP=MQ.

Answer 2

 

 

 

Answer 3

这种题看似复杂，但其实并不是很难的
建议同学们在做这类题时，不要被三个问题所吓倒，可以盖住后面两个，先做出第一个。
而第一个可通过已知条件很快求出来的，当然这得取决于你对抛物线方程的几个形式均熟悉，就能解。
然后再去研究第二个问题，这第二个问题的答案一般应该是存在的，仔细研究。。。。然后第三问就迎刃而解了

同时建议拿到这类题最好能自己独立分析解决几个，才能找到一种解答这类题的感觉
祝你学习进步