Question

怎样用微积分找出不规则图形的重心！最好有计算公式！

不用物理知识，用纯数学！如：Y=-X^2与X包围所形成图形的重心！

Answer 1

重心坐标为(对应坐标与面积乘积的积分)与(面积积分)之商

即 x(G)=[∫x`dA]/[∫dA], y(G)=[∫y`dA]/[∫dA]

其中，x`,y`为相应面积微元的重心坐标

如下图，求y=-x^2与x=1所围成图形的重心

取x垂线方向的长方形面积微元，其重心为

x`=x, y`=y/2=-x^2/2, dA=ydx

代入重心公式，可得

x(G)=[∫x`dA]/[∫dA]

=[∫xydx]/[∫ydx]

=[∫x*(-x^2)dx]/[∫(-x^2)dx]             积分限为0≤x≤1

=[<0,1>(-x^4/4)]/[<0,1>(-x^3/3)]

=[-1/4]/[-1/3]

=3/4

y(G)=[∫y`dA]/[∫dA]

=[∫(y/2)*ydx]/[∫ydx]

=[∫(-x^2/2)*(-x^2)dx]/[∫(-x^2)dx]             积分限为0≤x≤1

=[<0,1>(x^5/10)]/[<0,1>(-x^3/3)]

=[1/10]/[-1/3]

=-3/10

∴所围区域重心为G=G(3/4,-3/10)

 

PS: 你也可以取y轴垂线方向的面积微元，以y为变量积分

计算方法类似，所得结果相同（微元如图下面一块，x2`,y2`）