Question

已知f(x)=|x+1|+|ax-4| (1）当a=1时，求证f（x）≥5；（2)当a=2时，解关于x的不等式f（x）≥mx+1（m>0）

Answer 1

（1）有不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b| 可得 f（x)=|x+1|+|x-4|≥|x+1-(x-4)|=5 得证
(2)当a=2时， f（x)=|x+1|+|2x-4|
①当x≥2时，不等式为x+1+2x-4≥mx+1 ＝﹥ (3-m)x≥4
当m>3==>x<=4/(3-m)<0 而前提条件x>=2， 因此该情况不存在
当0<m<3==>x>4/(3-m)>0 此时还要比对4/(3-m)和2进行比对，当0<m<=1时，4/(3-m)<=2, 则x>=2
当1<m<3时，则4/(3-m)>2,则解为x>4/(3-m)
②当-1≤x＜2时，不等式为x+1-2x+4≥mx+1 ＝﹥4≥(1+m)x＝﹥x≤4／(m+1), 此时还要对m进行拆分讨论， 4/(m+1)=2，即m=1， 若m>1,则4/(m+1)<2 则解为-1≤x＜4/(m+1)
若0<m<=1,则4/(m+1)>=2, 则解为-1≤x＜2
③当x＜-1时，不等式为-x-1-2x+4≥mx+1 ＝﹥2≥(m+3)x＝﹥x≤2／(m+3)<2/3 (又因为m>0) ==》
x<-1

Answer 2

（1）有不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b| 可得 f（x)=|x+1|+|x-4|≥|x+1-(x-4)|=5 得证
(2)当a=2时， f（x)=|x+1|+|2x-4|
①当x≥2时，不等式为x+1+2x-4≥mx+1 ＝﹥ (3-m)x≥4
②当-1≤x＜2时，不等式为x+1-2x+4≥mx+1 ＝﹥4≥(1+m)x＝﹥x≤4／(m+1)
③当x＜-1时，不等式为-x-1-2x+4≥mx+1 ＝﹥2≥(m+3)x＝﹥x≤2／(m+3)
再讨论m的值 要睡觉了

追问

麻烦详细说一下，我知道要讨论m的值，但不知道怎么讨论。

追答

当m≥3时在 ①中不等式无解 ②中不等式解为-1≤x≤4/(m+1) ③中不等式解为x＜-1
综合 x≤4/(m+1)
当1≤m＜3时①中 4/(3-m)-2=(2m-2)/(3-m)≥0 ＝﹥4/(3-m)≥2 解为 x≥4/(3-m)
②中 4/(m+1)-2=(2-2m)/(m+1)≤0 ＝﹥ 4/(m+1)≤2解为-1≤x≤ 4/(m+1)
③中不等式解为x＜-1
综合不等式解为x≤ 4/(m+1)或x≥4/(3-m)
当0＜m＜1时①中 4/(3-m)-2=(2m-2)/(3-m)＜0 ＝﹥4/(3-m)＜2 解为x≥2
②中 4/(m+1)-2=(2-2m)/(m+1)＞0 ＝﹥ 4/(m+1)＞2解为-1≤x＜2
③中不等式解为x＜-1
综合不等式解为R

追问

我看懂了，但不知道是怎么想到m的三种取值情况的？总不能先解出来与2做差的式子 ，然后再讨论m值吧？我想学学直接看出m取值的原因。顺便把qq留下。交个好友以后有问题好向你请教@

追答

QQ553195985, 先说好 我好多题可能都做不来 都差不多望了