Question

高等数学微积分问题

设函数y=f(x)为连续函数,对于任意实数a,如果总成立:f(x)在区域D上的二重积分=f(a)+1,其中D为直角坐标系xoy中直线y=x,y=a和x=0所围的封闭区域,求f(x)的函数解析表达式.

题目解答中说: f(x)在区域D上的二重积分=(a-x)f(x)在0到a上的积分.

请问这是怎么来的?

求详解,万分感谢!!!

Answer 1

如图 ：二重积分化为二次积分，后面的对于y的积分函数为常数，下限为x，上限为x，原函数为y，积分值为（x-a），也就化成了你要问的形式。具体如下：   

∫∫f(x)dxdy=∫[0,a]f(x)dx∫[x,a]dy

=∫[0,a](x-a)f(x)dx

追问

亲,还是不懂...
后面的对于y的积分函数为常数?
下限为x?
上限为x?
原函数为y?
积分值为（x-a)?

追答

从图看出，下面曲线：y=x,上面直线：y=a,所以，下限为x,上限为a, 被积函数为常数1，即 ∫[x,a]dy=y|[x,a]=x-a,

追问

被积函数为什么是1，不是f（x）吗？
∫[0，a]dx=∫[x，a]f（x）dy

追答

是对y积分，f(x)是x的函数，与y无关，克认为是常数，提到积分号外，所以被积函数是1.原函数是y,代入积分限结果是x-a.

Answer 2

呵呵，不知道哦，不清楚