Question

函数f(x)=1-(x-2)^(2/3)的极大值是____?

求一阶导等于零的点，解出驻点，把驻点带入二阶导，可是我解不出来，求分析过程？？？

Answer 1

函数 f(x)=1-(x-2)^(2/3)极大值就是1，不用细“解”的，因为总有 (x-2)^(2/3)≥0 （仅x=2时取等号）；如果设 u=(x-2)^(1/3)，则 f(x)=f(u)=1-u²，从u²≥0可知，f(u)≤1；

追问

还是不太理解，极大值概念难道在这不适用吗？按理说可以通过定义解出来呀！

追答

概念和定义是一样的，按导数法直接求解在此遇到了问题，因为“半立方抛物线y³=(x-2)² ”在 x=2处（尖点）导数不存在，曲线在此点不光滑；按定义求解则没有问题，

追问

嗯，能把分析过程和解题步骤再详细写一遍吗？万分感谢！

追答

y=1-(x-2)^(2/3)，定义域：(-∞,+∞)；
y'=-(2/3)(x-2)^(-1/3)=-2/[3(x-2)^(1/3)]，y'的定义域：(-∞,2)∪(2,+∞)，(2,0)点处 y 对 x 的导数不存在；
当x0（因(x-2)^(1/3)的值小于0），函数单调增加；
当x>2，y'(x)<0，函数单调减小；
因为f(x)在其整个定义域内是连续的，故在x=2 的函数值是极大值；