已知函数f(x)=ax^2-e^x 若f(x)有两个极值点x1和x2,(x1<x2),求实数a的取值范围。
已知函数f(x)=ax^2-e^x若f(x)有两个极值点x1和x2,(x1<x2),求实数a的取值范围。...
已知函数f(x)=ax^2-e^x 若f(x)有两个极值点x1和x2,(x1<x2),求实数a的取值范围。
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f'(x)=2ax-e^x
∵f(x)有两个极值点x1和x2,(x1<x2)
∴f'(x)有2个不同的零点
令f'(x)=0 ,得2ax=e^x
x=0不是方程的解
∴x≠0
∴2a=e^x/x
设g(x)=e^x/x ,
则需有2个不同的x值对应同一个g(x)值
g'(x)=(xe^x-e^x)/x²=e^x(x-1)/x²
x<0时,g'(x)<0,g(x)递减,且g(x)<0
0<x<1时,g'(x)<0,g(x)递减,g(x)∈(e,+∞)
x>1时,g'(x)>0,g(x)递增,g(x)∈(e,+∞)
∴x在(0,+∞)上的最小值为g(1)=e
∴2a>e,
∴实数a的取值范围是a>e/2
∵f(x)有两个极值点x1和x2,(x1<x2)
∴f'(x)有2个不同的零点
令f'(x)=0 ,得2ax=e^x
x=0不是方程的解
∴x≠0
∴2a=e^x/x
设g(x)=e^x/x ,
则需有2个不同的x值对应同一个g(x)值
g'(x)=(xe^x-e^x)/x²=e^x(x-1)/x²
x<0时,g'(x)<0,g(x)递减,且g(x)<0
0<x<1时,g'(x)<0,g(x)递减,g(x)∈(e,+∞)
x>1时,g'(x)>0,g(x)递增,g(x)∈(e,+∞)
∴x在(0,+∞)上的最小值为g(1)=e
∴2a>e,
∴实数a的取值范围是a>e/2
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