Question

已知f（x）为定义在（-∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f′（x）对于x∈R恒成立，则（　　）

已知f（x）为定义在（-∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f′（x）对于x∈R恒成立，则（　　）
A．f（2）＞e2f（0），f（2010）＞e2010f（0）
B．f（2）＜e2f（0），f（2010）＞e2010f（0）
C．f（2）＞e2f（0），f（2010）＜e2010f（0）
D．f（2）＜e2f（0），f（2010）＜e2010f（0）需要详解，答案是A快速解题

Answer 1

令g(x)=f(x)/e^x,则：
g(0)=f(0)
g'(x)=(f'(x)e^x-e^xf(x))/e^2x＞0
即：g(x)为单调递增函数
∴g(2)=f(2)/e^2＞g(0)=f(0)
即：f(2)＞e^2f(0)
同理：f(2010)＞e^2010f(0)

Answer 2

令F(x)=e^(-x)*f(x)
所以
F'(x)=e^(-x)*f'(x)-e^(-x)*f(x)
=e^(-x)[f'(x)-f(x)]>0
从而
F(x)为增函数,即有
1.
F(2)>F(0)
e^(-2)*f(2)>e^(-0)*f(0)
f(2)>e^2*f(0)
2.
F(2010)>F(0)
e^(-2010)*f(2012)>e^(-0)*f(0)=f(0)
f(2010)>e^2010*f(0)
所以
本题选A.

Answer 3

f（x）＜f′（x）
所以，f′（x）-f(x) >0; 0;
取g'(x)=e^-x*f′(x)-e^-x*f(x)
则g(x) = e^-x*f(x) ,g(x)单调增函数；
所以e^(-2)f（2）＞e^0*f（0），即f（2）＞e2f（0），
f（2010）＞e2010f（0）同理