Question

已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在以O为球心的球面上，三角形ABC是以边长为1的正三角形，SC为球O

已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在以O为球心的球面上，三角形ABC是以边长为1的正三角形，SC为球O的直径，若三棱锥S-ABC的体积为√2/6，则球O的表面积是多少????

Answer 1

解答：

利用正弦定理，设三角形ABC外接圆半径为r

则2r=1/sin60°=2/√3

∴ r=√3/3

设球的半径为R

∴ O到平面ABC的距离d=√(R²-r²)        =√6/3

∵ O是SC的中点

∴ S到平面ABC的距离是2d=2√(R²-r²)

∵ 三角形ABC的面积是(√3/4)*1=√3/4

∴ 三棱锥的体积=(1/3)*(√3/4)*2√(R²-r²)=√2/6

∴ 2√(R²-r²)=2√6/3

∴ R²-1/3=2/3

∴ R=1

∴ 球的表面积是S=4πR²=4π