Question

函数的n阶导数

求下列导数的n阶导数 （1）.y=xlnx （2） .y=xe^x

Answer 1

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（1）
y'=lnx+1
y''=1/x
y'''=-1/x²
y(4)=2/x³
y(5)=-2*3/x⁴
……
可以观察到：y(n)=[(-1)^n](n-2)!/x^(n-1) (n≥2且为整数)
(2)
y'=e^x+xe^x
y''=e^x+e^x+xe^x=2e^x+xe^x
y'''=3e^x+xe^x
y(4)=4e^x+xe^x
y(5)=5e^x+xe^x
……
可以观察到：y(n)=ne^x+xe^x (n≥1且为整数)

谢谢，不懂可追问
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Answer 2

(1)y'=lnx+x*1/x=lnx+1
y''=1/x
所以y^(n)=(-1)^n*(n-2)!/x^(n-1) (n>=2)

(2)y'=e^x+xe^x=e^x+y
两边求n-1阶导：y^n=e^x+y^(n-1)
所以y^n=(n-1)e^x+y'=ne^x+xe^x

Answer 3

(1)y'=lnx+1
y''=1/x
y'''=-1/x^2
......
y^(n)=(-1)^n/x^(n-1)
(2)y'=e^x+xe^x=(1+x)e^x
y''=e^x+e^x+xe^x=(2+x)e^x
......
y^(n)=(n+x)e^x

Answer 4

y= xlnx
y' = 1+lnx
y''= 1/x
y'''= -1/x^2
y^(n)x = (-1)^(n-2) . (n-2)! /x^(n-1) ( for n>=2 )

y=xe^x
y'= (e^x)(1+x)
y'' = (e^x) (2+x)
y'''= (e^x)(3+x)
y^(n)x = (e^x) ( n+x)

Answer 5

（1）y=xlnx, y'=lnx+1, y''=x^(-1), y'''=(-1)x^(-2), ......, y^(n)=[(-1)^n]x^(1-n)
（2）y=xe^x, y'=e^x+xe^x, y''=2e^x+xe^x, y'''=3e^x+xe^x, ......, y^(n)=ne^x+xe^x