Question

设f(x)=(4∧x)/(4∧x+2)

设f(x)=(4∧x)/(4∧x+2),若0<a<1,试求:(1)f(a)+f(1-a)的值;(2)f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+...+f(1000/1001).
第一步化简尽量详细，谢谢！务必尽量详细，我化简不来
(1)f(a)+f(1-a)的值
解答尽量详细，谢谢！

Answer 1

f(a)=[4^a]/[4^a＋2]
f(1－a)=[4^(1－a)]/[4^(1－a)＋2]==【分子分母同乘以4^a】==[4]/[4＋2×4^a]=2/[4^a＋2]
则：
f(a)＋f(1－a)=[4^a＋2]/[4^a＋2]=1

设：S=f(1/1001)＋f(2/1001)＋…＋f(1000/1001)
则：S=f(1000/1001)＋f(999/1001)＋…＋f(2/1001)
上述两个式子相加，得：
2S=1000 【注意到上下对应是两个式子的和是1，如：f(1/1001)＋f(1000/1001)=f(2/1001)
得： f(999/1001)=…==1】
S=500

Answer 2

这个题目的关键在于
证明f(a)+f(1-a)是一个定值，或常数
f(a)+f(1-a)=4^a/(4^a+2)+4^(1-a)/[4^(1-a)+2]

=4^a/(4^a+2)+4/[4+2*4^a]
=4^a/(4^a+2)+2/(4^a+2)
=1
所以
f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+...+f(1000/1001)

=[f(1/1001)+f(1000/1001)]+[f(2/1001)+f(999/1001)]+....
=1000/2
=500