Question

数列综合题

已知f(x)为R上单调增函数，且f（x+y）=f(x)+f(y)-1.关于x的不等式f(x2-ax+5a)<3的解集为{x|-3<x<2}.
设f(n)=an/λ^(n-1)(λ>0)
(1)求数列{an}的通项公式
（2）当λ=4时，是否存在互不相同的正整数r,s,t,使得ar,as,at成等比数列？若存在，给出r,s,t满足的条件，若不存在，请说明理由
（3）设Sn为数列{an}的前n项和，若对任意n∈N*,都有（1-λ）Sn+λan≥2λ^n恒成立，求实数λ的取值范围？

答案
（1）an=(2n+1)λ^(2n+1)
（2） 不存在
（3）0＜λ≤1.5

Answer 1

（1）因为f是单调增函数，因此反函数存在，而且可以证明f(0)=1（代x=y=0），且f(x)可以趋向无穷大（证明略），因此可以设b=f(-1) (3) （就是3的f反函数值，即f(b)=3，b会存在）。

则f(x2-ax+5a)<3等价于x2-ax+5a<b，根据解集，等价于(x+3)(x-2)<0，比较系数得a=-1，b=1，即f(1)=3。

根据递推公式，代入x=n，y=1，得f(n+1)=f(n)+f(1)-1=f(n)+2，所以根据f(1)=3，得f(n)=2n+1。

根据f(n)=an/λ^(n-1)，所以an=f(n)×λ^(n-1)=(2n+1)×λ^(n-1)。

（2）若存在rst，满足ar×at=as×as，得
(2r+1)(2t+1)4^(r+t-2)=(2s+1)(2s+1)4^(2s-2)，

因为左右边都是自然数，且2r+1，2s+1，2t+1都是奇数，所以对比左右两边质数分解里面2的因子重数，得r+t=2s，因此4的幂次实质上可消去。

再代入(2r+1)(2t+1)=(2s+1)(2s+1)，得rt=s2，因此可解得r=t=s，因此不成立。

（3）(1-λ)Sn+λan
=∑(2k+1)λ^(k-1)-∑(2k+1)λ^k+(2n+1)λ^n
=3+2λ+2λ^2+...+2λ^(n-1)

(1-λ)Sn+λan>=2λ^n，代入n=1，得3>=2λ，得λ<=1.5，故0<λ<=1.5是必要条件。

事实上，当n=1满足不等式时，对任意n就都会满足不等式，因为左边的增长速度小于λ倍（因为对于不超过1.5的λ，如下不等式成立3λ<2λ+3），而右边的增长速度恰巧是λ倍，具体证明不难，略。

追问

老师，第三问我没怎么看懂，能详细些吗

追答

首先，求出(1-λ)Sn+λan的表达式，(1-λ)Sn可以根据求和表达式里λ的次数进行错项，会发现很多系数都是2，就求出3+2λ+2λ^2+...+2λ^(n-1)这个表达式。

然后3+2λ+2λ^2+...+2λ^(n-1)>=2λ^n，这个式子对所有n都成立，自然对n=1成立，因此求出λ<=1.5。

事实上，对于λ<=1.5，左边的式子当n每增加1的时候，增长速度小于λ，而右边的增长速度正好是λ。所以就都会成立了，这个是可以用数学归纳法证明的。

Answer 2

你自己都出答案了 还需要做什么？？？ 我本来都拿出纸和笔了 看到答案 又放回去了

追问

那天老师讲解我不在，我只知道答案。。。