设4元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3,若η1,η2 为该方程组的两个解向量,则该方程组的通解为?
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由于 r(A)=3
所以 Ax=0 的基础解系含 n-r(A) = 4-3 = 1 个解向量
而 η1,η2 为Ax=b 的两个不同解向量 -- 应该不同
所以 η1-η2 是 Ax=0 的基础解系
所以 Ax=b 的通解为 η1+ k(η1-η2), k为任意常数
所以 Ax=0 的基础解系含 n-r(A) = 4-3 = 1 个解向量
而 η1,η2 为Ax=b 的两个不同解向量 -- 应该不同
所以 η1-η2 是 Ax=0 的基础解系
所以 Ax=b 的通解为 η1+ k(η1-η2), k为任意常数
追问
老师,为什么是η1减η2 呢？
追答
这是解的性质之一
非齐次线性方程组的两个解的差是其导出组的解
直接验证 A(η1-η2) = Aη1-Aη2 = b-b = 0
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