Question

求由曲线y^2=x与y^2=-x+4所围成的图形的面积

求由√x与直线x=1,x=0,x=4所围成的图形平面图形分别绕x轴y轴旋转产生的立体的体积

Answer 1

1）由曲线y^2=x与y^2=-x+4所围成的图形的面积

由题知是开口向右的抛物线与开口向左并向右平移4的抛物线相交的图形，根据对称性可知其面积为

2）由y = √x与直线x=1,y=0【我认为此处应该为 y = 0，否则不能围成闭合面】,x=4所围成的图形平面图形分别绕x轴y轴旋转产生的立体的体积

A）绕x轴旋转：

    做如下变换：

   

B）绕y轴旋转：

    做如下变换：

Answer 2

（1）

• 先确定两曲线的交点：联立两曲线，解方程得交点为(2,±√2)

• 再将曲线方程转化为函数：y=√x（x≥0），y=√(4-x)（x≤4）

• 然后计算函数图象与x轴围成的面积S0：对函数y=√x（0≤x≤2）、y=√(4-x)（2≤x≤4）积分之和，即S0=∫[0,2]√xdx+∫[2,4]√(4-x)dx=[0,2] (2/3)x^(3/2) + [2,4] (-2/3)(4-x)^(3/2) = 8√2/3

• 最后依据对称性确定两曲线围成的面积S：显然S=2S0=16√2/3

  说明：因函数y=√x（x≥0）与y=√(4-x)（x≤4）关于直线x=2对称，也可以只计算函数y=√x（0≤x≤2）与x轴围成的面积S0'，则由整体对称性知S=4S0'

（2）

• 所述平面图形应该是由曲线y=√x与直线x=1、x=4、y=0（即x轴）所围成的图形

• 先计算绕x轴旋转产生的立体体积Vx：令y=f(x)=√x（1≤x≤4），由旋转体体积公式知Vx=∫[a,b]π[f(x)]^2dx=∫[1,4] πx dx=[1,4] πx^2/2=15π/2

• 再计算绕y轴旋转产生的立体体积Vy：易知当x=1时y=1，当x=4时y=2。因y=√x（1≤x≤4），则x=y^2（1≤y≤2），令x=g(y)=y^2（1≤y≤2），由旋转体体积公式知V3=∫[c,d]π[g(y)]^2dy=∫[1,2]πy^4dy=[1,2]πy^5/5=32π/5。这里Vy可视为由直线段x=4（0≤y≤2）绕y轴旋转产生的立体体积V1（易知圆柱体V1=32π），减去直线段x=1（0≤y≤1）绕y轴旋转产生的立体体积V2（易知圆柱体V2=π），再减去V3，即Vy=V1-V2-V3=32π-π-32π/5=123π/5