Question

双曲线x^2/b^2-y^2/a^2=-1与抛物线y=1/8x^2有一个公共焦点F,双曲线上过点f且垂直轴的弦长为2根号3/3,则双

双曲线x^2/b^2-y^2/a^2=-1与抛物线y=1/8x^2有一个公共焦点F,双曲线上过点f且垂直轴的弦长为2根号3/3,则双曲线的离心率等于

Answer 1

你好！
解：x²/b²-y²/a²=-1中，令y=√（a²+b²），得到x=b²/a
所以双曲线上过点f且垂直轴的弦长为2b²/a
∴2b²/a=（2√3）/3
∴a=(√3)b²------------------------------------------①
又因为抛物线y=1/8x^2的焦点为（0,2）
所以√（a²+b²）=2
所以a²+b²=4-------------------------------------------②
①②两式联立，得到
a²+(√3)/3a-4=0
解这个一元二次方程，得a=√3 （负数舍去）
代入①得b=1
所以离心率e=c/a=√（a²+b²）/a=（2√3）/3-----三分之二根号3
不明白请追问，有帮助请采纳！

追问

我从第一行就看不懂了,为什么要设y=.

追答

本题过焦点且垂直轴的弦长度的计算方法：令y=c=根号（a平方加b平方），求出x值，再乘二，得到弦长为2b平方/a。由已知可建立方程。

追问

晚上讲吧。

追答

因为本题中双曲线方程右边化为正之后y²的系数为正，所以双曲线的焦点在y轴上，焦点纵坐标为c=√（a²+b²）。给你一个图，开口大的是双曲线。我的电脑比较落后，所以图不太好，只能说个大概。

 

追问

a=√3 （负数舍去）
负数为什么要舍去？
哦，懂了，双曲线的a>0
好细心，谢谢你

追答

因为a是一个有几何意义的数，它代表双曲线的实轴（两支的两个顶点之间的距离）的一半,而长度只能是正的。