Question

求一道物理题的解。要用到二元微分方程的。

一条长度为6m的均匀链条，放置在一个水平面而无摩擦力的桌面上，开始时，链条在桌边悬挂下来的长度为1m。问链条全部滑离桌面需要多少时间？
求大致解题思路。

Answer 1

设链条总长为L，t时刻垂下部分长度为x
均匀链条，则其各部分的速度与加速度均相同
建立垂下长度x与滑下时间t的函数关系
链条均匀，不妨设其线密度为1，则其质量与长度在数值上相等
整条链条只受垂下部分的重力提供动力，即xg=La
而由加速度定义有a=d²x/dt²=x''，∴有 x''-gx/L=0 (1)
这是二阶常系数齐次微分方程，
其特征方程为r^2-g/L=0, 有两根r=±√(g/L)=±k {令k=√(g/L)}
则其微分方程通解为 x(t)=C1e^(-kt)+C2e^(kt) (2)
链条速度方程为 v(t)=dx/dt=-kC1e^(-kt)+kC2e^(kt) (3)
初始条件为t=0,x=1,v=0，代入(2),(3)可解得 C1=C2=1/2
∴微分方程特解为 x(t)=1/2*e^(-kt)+1/2*e^(kt) (4)
速度方程为 v(t)=-k/2*e^(-kt)+k/2*e^(kt) (5)
设u=e^(kt)>0，则链条全部滑离桌面时，x=L=6，代入方程(4)可得
x(t)=6=1/2*(1/u+u)，解此一元二次方程，可得u=6±√35
将u=6-√35代入方程(5)验证可知此时v<0，故此根舍弃
即有 u=e^(kt)=6+√35，∴kt=ln(6+√35)
∴ t=1/k*ln(6+√35)
=√(L/g)*ln(6+√35)
=√(6/9.8)*ln(6+√35)
=1.94 (s)
即链条全部滑落的时间约为1.94秒

Answer 2

不懂！不会这个