Question

若等腰梯形ABCD中,AB‖CD,AB=3 BC=√2,∠ABC=45°,则向量AC*BD的值为

A.-3 B.-7 C.3 D.9

Answer 1

由题意，ABCD是等腰梯形，故：|AD|=|BC|，∠ABC=∠BAD=π/4
AC=AB+BC，BD=BA+AD=-AB+AD，故：AC·BD=(AB+BC)·(-AB+AD)
=-(AB+BC)·(AB-AD)=-(|AB|^2-AB·AD+AB·BC-BC·AD)
而：AB·AD=|AB|*|AD|*cos(π/4)=3*sqrt(2)*sqrt(2)/2=3
AB·BC=|AB|*|BC|cos(3π/4)=-3*sqrt(2)*sqrt(2)/2=-3
BC·AD=0，故：AC·BD=-(9-3-3)=-3，选A

Answer 2

向量AC=AB+BC，向量BD=AD-AB；则：
向量AC•BD=(AB+BC)•(AD-AB)=AB•AD-AB•AB+BC•AD-BC•AB
=|3*√2*cos45°-3*3+√2*√2*0-√2*3*cos145°|
=|(3√2+3√2)*√2/2-9|=9-6=3；
选 C；