Question

已知函数f（x）＝x³＋2x²＋x－4,g（x）＝ax²＋x－8。 1） 对任意的x∈〔0，＋∞）都

已知函数f（x）＝x³＋2x²＋x－4,g（x）＝ax²＋x－8。
1） 对任意的x∈〔0，＋∞）都有f（x）≧g（x）求实数a的取值范围。
2）对任意的x1,x2∈〔0，＋∞）均有f（x1）≧g（x2）,求实数a的取值范围。急~

Answer 1

解：
（1）设h(x)=f(x)-g(x)=x³+(2-a)x²+4, 即x≥0是h(x)≥0恒成立
h'(x)=3x²+2(2-a)x=3x[x-2(a-2)/3]
若a≤2, 则2-a≥0, h'(x)≥0,即h(x)在[0,+∞)上单调增, 只要使得最小值h(0)>0, h(0)=4>0显然成立
若a>2, 则令h'(x)≥0, 则x≥2(a-2)/3
令h'(x)≤0,则0<x≤2(a-2)/3
∴h(x)在(0,2(a-2)/3]上单调减，在[2(a-2)/3,+∞)上单调增
∴最小值在x=2(a-2)/3处取得，h(2(a-2)/3)=8(a-2)³/27-4(a-2)³/9+4=4-4(a-2)³/27≥0
∴(a-2)³≤27, a-2≤3, a≤5
即2<a≤5
综上,a<=5
即a的取值范围为(-∞,5]
第（2）问与（1）其实是一样的，只是问法变了一下而已。
对任意的x1,x2∈〔0，＋∞）均有f（x1）≧g（x2）,求实数a的取值范围为(-∞,5]。

追问

这算全吗

追答

第二问我赞同一楼的。
(2)
满足f（x）最小值≥g（x）最大值就行
f’（x）=3x^2+2x+1＞0恒成立
所以f（x）在[0,+∞)单调递增
最小值为f（0）=-4
令g'(x)=2ax+1=0
解得x=-1/2a
当a＞0时，g（x）单调递增，不存在最大值
当a＜0时，讨论单调性得到最大值在x=-1/2a处取得，从而最大值为
g（-1/2a）=-1/4a-8
对任意的x1,x2∈〔0，＋∞）均有f（x1）≧g（x2）,则
-4≥-1/4a-8
解得a≤-1/16
a的取值范围为(-∞,-1/16]

Answer 2

(1)
h(x)=f(x)-g(x)=x^3+(2-a)x^2+4 (x>=0)
h'(x)=3x^2+(4-2a)x
当a<=2时,h'(x)>=0恒成立.h(x)最小=h(0)=4,成立
当a>2时, x=(2a-4)/3时,h(x)最小=(-4/27)*(a-2)^3+4.
(-4/27)*(a-2)^3+4>=0,得a<=5.即2<=a<=5
a<=5时,对任意的x∈〔0，＋∞）都有f（x）≧g（x）.
(2)
f(x)最小值>=g(x)最大值,显然a<0
f'(x)=3x^2+4x+1>0 在x>0时恒成立.
f(x)最小=f(0)=-4
g(x)最大=g(-1/2a)=-8-1/4a
-8-1/4a<=-4
a<=-1/16

Answer 3

1） 对任意的x∈〔0，＋∞）都有f（x）≧g（x）就是说：对任意的x∈〔0，＋∞），h(x)=f(x)-g(x)非负，继而转化为求函数h(x)非负时实数a的取值范围。。。
2）对任意的x1,x2∈〔0，＋∞）均有f(x1)≧g(x2)，就是说在x∈〔0，＋∞）这个区间上，f(x)的最小值不小于g(x)的最大值，继而转化为求函数f(x)的最小值和g(x)最大值，然后进行比较，求出实数a的取值范围。。。

追问

这个我需要过程，理论不用