Question

若tanα,tanβ是方程x2-3x-3=0的两个实数解,则sin(α+β)= (A)3/5,(B)-3/5,(C)4/5,(D)±3/5

Answer 1

　　解：
　　∵tanα,tanβ是方程x2-3x-3=0的两个实数解
　　∴由韦达定理，得tanα+tanβ=3; tanα*tanβ=-3
　　,
　　∴tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=3/4
　　又∵1+tan^2(α+β)=sec^2(α+β)=1/cos^2(α+β),
　　∴cos^2(α+β)=16/25,
　　又∵sin²(α+β)+cos²(α+β)=1
　　∴sin^2(α+β)=9/25,
　　∴sin(α+β)=±3/5

　　,选：(D)±3/5

追问

又[∵1+tan^2(α+β)=sec^2(α+β)=1/cos^2(α+β),
　　∴cos^2(α+β)=16/25,
　　又∵sin²(α+β)+cos²(α+β)=1　　
∴sin^2(α+β)=9/25, ]
这一过程如何演变过来的，可能这些公式尚未学到，谢谢。

追答

三角函数公式还没有学玩吗？
那这个题就不应该做
你做这个试试
若tanα,tanβ是方程x2-3x-3=0的两根,则sin(α+β)/cos(α-β)=?

解析
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
故式上下同除cosαcosβ得
原式=（tanα+tanβ）/（1+tanαtanβ）
根据二次方程有
tanα+tanβ=3
tanαtanβ=-3
所以原式= -3/2

追问

答案上，下为何不同，谢谢。

追答

sin(α+β)= ?

sin(α+β)/cos(α-β)=?

问的不一样

追问

sin(α+β)= ?
是否有其他解法，谢谢。

Answer 2

tanα+tanβ=3
tanαtanβ=-3
1-tanαtanβ=4
tan(α+β)=3/4=sin(α+β)/cos(α+β)
cos(α+β)=4sin(α+β)/3 （1）
又
sin²(α+β)+cos²(α+β)=1 （2）
两式联合得，
sin(α+β)=±3/5
故选,(D)±3/5

追问

sin²(α+β)+cos²(α+β)=1 （2）请教，这一步如何来？
（1)和（2）如何解得结果。谢谢

追答

sin²(α+β)+cos²(α+β)=1 这一步是根据公式而得知的（如果你还没学到的话，这种题就不适合做了）

cos(α+β)=4sin(α+β)/3 （1）
又

sin²(α+β)+cos²(α+β)=1 （2）

将1 代入2 得

sin²(α+β)+16sin²(α+β)/9=1
25sin²(α+β)/9=1
sin²(α+β)=9/25
sin²(α+β)=±3/5