Question

数学归纳法的问题

设v（0）=2，v（1）=3，有 v（n+1）=3v（n）- 2v（n-1），其中n大于或等于1。

证明对于所有大于或等于0的n，v（n）=2^n+1。

Answer 1

设Vo=2，V₁=3，有V‹n+1›=3V‹n›-2V‹n-1›，其中n≧1，证明对于所有≧0的n，V‹n›=2ⁿ+1
证明：∵V‹n+1›=3V‹n›-2V‹n-1›；∴V‹n+1›-V‹n›=2(V‹n›-V‹n-1›)；
故(V‹n+1›-V‹n›)/(V‹n›-V‹n-1›)=2；
设a‹n+1›=V‹n+1›-V‹n›，则a‹n›=V‹n›-V‹n-1›；于是有a‹n+1›/a‹n›=2；即{a‹n›}是一个公比q=2的
等比数列，其首项a₁=V₁-V₀=3-2=1；故a‹n›=V‹n›-V‹n-1›=2ⁿ⁻¹；即有V‹n›=V‹n-1›+2ⁿ⁻¹；
V‹n+1›=V‹n›+2ⁿ；用n=1，2，3，....，代入得：

故V₁=V₀+1=2+1=3=2¹+1；V₂=V₁+2=3+2=5=2²+1；V₃=5+4=9=2³+1；V₄=9+8=17=2⁴+1；.......；
由此推得V‹n›=2ⁿ+1
下面用规纳法加以证明：
当n=1时V₁=2¹+1=3成立；
设当n=k时V‹k›=(2^k)+1成立；那么当n=k+1时：
V‹k+1›=V‹k›+2^k=[(2^k)+1]+2^k=2×(2^k)+1=2^(k+1)+1；
故命题V‹n›=2ⁿ+1得证。

Answer 2

1\
v(0)=2^0+1=2
v(1)=2^1+1=3
n=0和1时,v(n)=2^n+1
2\
设v(n)=2^n+1,v(n+1)=2^(n+1)+1
则v(n+2)=3*[2^(n+1)+1]-2*(2^n+1)=3*2^(n+1)+3-2^(n+1)-2=2*2^(n+1)+1=2^(n+2)+1
故对于所有大于或等于0的n，v（n）=2^n+1
(这是二阶递推归纳.两个起点,加上任意连续两点可以推出下一点,就能依次推出所有点.)

直接证明也可
v(n+1)-v(n)=2[v(n)-v(n-1)]
设v(n)-v(n-1)=a(n)
则a(n)是个等比数列.
求出an,进而求出v(n)