Question

求关于数列的题。多谢

有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且首末两个数之和是16，中间两个数之和是12，求这四个数？

Answer 1

设这四个数为 m-d、m、m+d、n
由题可得，(m+d)²=mn
所以，n=(m+d)²/m
由中间两数和为12，可得 m+m+d=12
所以，d=12-2m
由首末两数之和为16，可得 m-d+n=16
所以，m-12+2m+(m+12-2m)²2/m=16
即，3m-28+(m+12-2m)²/m=0
即，3m-28+(12-m)²/m=0
即，3m²-28m+m²-24m+144=0
即，m²-13m+36=0
所以，(m-4)(m-9)=0
解得，m=4或 m=9

当m=4时
d=12-2m=12-2×4=4
m-d=4-4=0
m+d=4+4=8
n=(m+d)²/m=16

当m=9时
d=12-2m=12-2×9=-6
m-d=9-(-6)=15
m+d=9-6=3
n=(m+d)²/m=1
所以，这四个数为：0，4，8，16 或：15，9，3，1

Answer 2

设第一个数为a1，公差为p，则数列为a1+p,a1+2p,16-a1

(a1+p)+(a1+2p)=12
(a1+2p)²=(a1+p)(16-a1)

解方程组即可得到这四个数的值

这个方法比较简便
设第二个数为a2，第三个数为a3，则第一个数为2a2-a3，第四个数为(a3)²/a2
由题意，得
a2+a3=12
2a2-a3+(a3)²/a2=16

解得a2=4，a3=8
或a2=9，a3=3

则这四个数为0,4,8,16
或15,9,3,1

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Answer 3

设第二个数是x,则第三个数是12-x
d=12-x-x=12-2x,第一个数是:x-(12-2x)=3x-12
第四个数是:16-(3x-12)=28-3x
(12-x)/x=(28-3x)/(12-x)
x=4 或 x=9
0、4、8、16
或者 15、9、3、1