Question

求函数y = (1-sinx)/(2cosx+3) 的值域

如果函数看成y = (1-sinx)/(3--2cosx) ，求点（3,1）到椭圆上点(-2cosx,sinx)的斜率，可以吗？

Answer 1

我可以为你的这种方法提供引导。 首先你的应该函数看成y = (1-sinx)/(3--2cosx) ，求点（3/2,1）到椭圆上点(-cosx,sinx)的斜率，所以你的思路是正确的，但错在没有把“(3--2cosx)”中的cosx的系数2给提出来（这是做此类题目极其重要的一步），就成为(1-sinx)/2(3/2--cosx)。 接下来，只要令X=-cosx Y=sinx 因为X与Y满足X² + Y²=1（这是一个圆方程），接下来，只要求点（3/2,1）到这个圆的斜率在哪个范围内变化就够了，球出来的就是我们要求的值域。具体操作如下：
设过 点（3/2,1） 的直线为y=Kx-（3/2）K+1 然后利用点到直线的距离公式，只要X² + Y²=1这个方程的圆心（0，0）到我们设的直线的距离小于或等于1就够了。
所以按照公式（公式省去，如不会，可追问哦）并结合上述，有丨1-1.5K丨/根号K²+9/4 的值≤1 解得K。。。就不解了。不懂追问哦

Answer 2

可以的，纠正一小点，是求点（3,1）到椭圆上点(-2cosx,sinx)的斜率的范围。作一个椭圆，并过(3,1)作切线，可以看得更明白。

Answer 3

此方法理论上是可以的，但比较复杂。
y=(1－sinx)/(2cosx＋3)
y(2cosx＋3)=1－sinx
sinx＋2ycosx=1－3y
而：sinx＋2ycosx可以看成是向量a=(1，2y)与向量b=(sinx，cosx)的数量积，即：
a*b=|a|×|b|×cosw，其中w为两向量的夹角，则：
－1≤cosw≤1
得：
cosw≤(1－3y)/√(1＋4y²)
|(1－3y)/√(1＋4y²)|≤1【两边平方】
(1－3y)²≤1＋4y²
解这个不等式就得到函数的值域了。

【由于现在不学辅助角公式，此法比较适合此类题目】

Answer 4

该方法是利用数形结合
可以转为圆，而不是椭圆
y = (1-sinx)/(2cosx+3) = (1-sinx)/[2(3/2- -cosx)]
=1/2 * (1-sinx)/(3/2- -cosx)
求点（3/2,1）到圆上点(cosx,sinx)的斜率范围
最后再乘以1/2

追问

为什么不能是椭圆呢？

追答

也可以是椭圆
只不过我们经常化为圆，简便
有时候利用图形，可以直接求出斜率范围
不然需要联立方程，利用△=0求解