Question

一道初中的几何奥数题...

当年在考场上没做出来,后来好不容易找到老师弄清楚了,可是近来想起发现又不会了..求解答..

ABCD是任意梯形,作AD的中垂线L,求证O点是线PS的中点..
哦,忘了,还有个条件,以两腰为边做两个正方形,图上应该很直观...

Answer 1

解：如下图所示：

 

 

从P、S两点，向直线 l 做垂线PE和SF。

只需证明两条垂线长度相等，即可证明O点是线PS的中点。（全等三角形）

 

再从A、D两点，分别向这两条垂线做垂线AH和DG，因为直线 l 平分AD，所以对应的线段HE和FG的长度相等。

 

又因为，三角形PHA和ABM全等，所以PH等于AM；

同理可证，GS等于DN，

从而证出，PH=GS.

 

然后再倒退回去，可证得，O点是线PS的中点。

 

希望你能理解，欢迎追问，望采纳。

Answer 2

可以用解析法，以AD中心为原点，AD为X轴，
分别设各点坐标：A(-a,0)，D(a,0) ，B(-b,-h)，C(c,-h)
然后可以求S和P点的坐标，PS直线方程
最后求出O点坐标，即可得证。

几何法，以L线为对称轴，作P和B的对称点P'，B'
直线L必垂直平PP'，只需要证明SP'垂直于AD就可以了。

追问

那P,S两点坐标难求了..要先写出以A为圆心正方形边长为半径的圆的方程,再联立PA的斜率与AB的斜率积为负1的方程,这初中僧能会吗..当年老师给我的解答是要画辅助线的,用的全是初中的定理,让我心服口服...

追答

那就看第二个办法吧，三角形SPP'中，只需要证明SP'平行于L，那么L就是三角形中位线。