Question

X趋近于0时,那么(1+1/X)^x有没有极限?若有，是多少？

Answer 1

 

第二个等号用了变量代换t=1/x,第三个等号用了罗比达法则

Answer 2

书上提供了两个重要极限：
①lim(x→0)（1＋x）∧1/x＝e
②lim(x→∞)（1＋1/x）∧x＝e.
发现二者的区别吗与联系吗？①中x→0，而②中x→∞，可是不管怎样指数都是趋近于无穷大！
也就是说，要使用这两个重要极限，必须满足指数趋近于无穷大！而题目中指数是趋近于0的！
正解：
原式＝lim(x→0)（1＋1/x）∧x
＝lim(x→0)e∧xln(1＋1/x)
＝e∧［lim(x→0)xln(1＋1/x)］
＝e∧［lim(x→0)[ln(1＋1/x)]/(1/x)］
＝e∧［lim(x→0)（1－1/(1＋x)）］（这里使用了洛必达法则，(∞/∞型)）
＝e°
＝1.

Answer 3

楼上扯淡 不一样的 等于1
(1+1/x)^1/x才是e

追问

如果能说点理由，那我就相信。

追答

(1+1/x)^1/x是e 这个是大学里必背的公式

追问

我说的是，我的提问，为什么是1？

追答

(1+1/X)^x可以看作(1+1/x)^1/x的x^2次幂
因为(1+1/x)^1/x等价于e 所以lim (1+1/X)^x=lim e^(x^2)=1

追问

X趋近于0时，(1+x)^1/x才是e！你的解释有漏洞。帮忙再想想！

追答

ln(1+1/X)^x=ln(1+1/x)/(1/x)
lim ln(1+1/X)^x=lim [x/(x+1)](1+1/x)'/(1/x)'=lim x/(x+1)=0
因为(1+1/X)^x=e^ln(1+1/X)^x
所以lim (1+1/X)^x=e^0=1
这回没问题了吧

Answer 4

e。。。。

追问

X趋近于0，那(1+X)^1/x的极限呢？

追答

把x看成1/x，同前者，一样的结果

追问

好像不能这样看吧，括号里面一个是无穷小，一个是无穷大。

追答

高数老师给我讲的我还能骗你吗。。。。→_→

追问

老师是这样讲的吧：X趋近于0时，(1+x)^1/x才是e！

追答

你想想，换过来虽然里面的趋向于1了，外面的趋向于无穷，跟原来里面趋向于无穷，外面趋向于0是一样的，这个很基础的。无穷问题不好给你推理，只能这样说，不过幸好是个常规问题，以后你会明白的，我不多说。

追问

你仔细看看上面的推荐回答，很不错！

追答

嘿嘿，我高数课本比这个详细多了～愿天天向上～