Question

偏导数的连续问题

证明xy╱√（x∧2+y∧2）的偏导数在（0，0）不连续

Answer 1

你的题目中少条件，这应该是个分段函数，并且f(0,0)=0。首先按偏导数定义求出函数在(0,0)点的偏导数，即z'x=lin[f(x,0)-f(0,0)]/x （x趋于0）=lim(0-0)/x=0，而不在(0,0)点时函数对x的偏导数可用导数公式直接求得，z'x=[y(x^2+y^2)^(1/2)-2yx^2]/(x^2+y^2)，可以看出它在(0,0)点处无意义，所以偏导数在(0,0)处不连续。对y的偏导数同理。

Answer 2

偏导数不存在很容易证因为其中分母上含有√(x^2+y^2，因此（0，0）处不存在．
连续则用两边极限都等于在（0，0）处的值即可证．

追问

这道题偏导数在（0，0）是存在的，只是在（0，0）处不连续，怎么证其不连续？