Question

lim(x趋向正无穷)[(x^5+7x^4+2)^a-x]=b,b≠0,求a,b

请问这题为什么不可以分子分母同时乘以(x^5+7x^4+2)^+x再求？

Answer 1

那样做得到的结果是什么？
分子变成 (x^5+7x^4+2)^(2a)-x² ？再打开吗？怎样打开？a又不能确定是整数。（实际一定不是整数）
即使化成这种形式，也是要保证(x^5)^(2a)=x² 。否则结果就是∞。
所以5×2a=2
这就是5a=1，与“分子有理化”之前是一个道理。
而且不“分子有理化”还能更好理解一些。
于是a=1/5

令q(x)=(x^5+7x^4+2)^(1/5), 则[q(x)]^5-x^5=7x^4+2 。
lim(x趋向正无穷) q(x)/x
= lim(x趋向正无穷) (x^5+7x^4+2)^(1/5) /x
= lim(x趋向正无穷) (1+7/x +2/x^5)^(1/5)
=1
则lim [(x^5+7x^4+2)^(1/5)-x]
= lim {[q(x)]^5-x^5}/{[q(x)]^4 + x·[q(x)]^3 + x²·[q(x)]² + x³·q(x) + x^4}
= lim {7x^4+2}/{[q(x)]^4 + x·[q(x)]^3 + x²·[q(x)]² + x³·q(x) + x^4}
= lim ( (7x^4+2) /x^4) / ({[q(x)]^4 + x·[q(x)]^3 + x²·[q(x)]² + x³·q(x) + x^4}/x^4)
= lim (7+2/x^4) / ( [q(x)/x]^4 + [q(x)/x]^3 + [q(x)/x]² + q(x)/x + 1)
= lim (7+0) / ( 1^4 + 1^3 + 1² + 1 + 1)
= 7/5