Question

高一数学 急急急！！！

对数列{an},规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=a(n+1)-an,(n属于N*),对正整数k，规定{△^k an}为{an}的k阶差分数列，其中△^k an=△^(k-1)a(n+1)-△^(k-1)an=△(△^(k-1)an),①试写出数列1，2，4，8，15，26的一阶差分数列；②已知数列｛an｝的通项公式an=n^2+n，试判断｛△an｝，｛△^2an｝是否为等差数列，为什么？

Answer 1

先根据定义可得△an=an+1-an，把an=n2+n代入整理，根据等差及等比数列的定义判断{△an}是否为等差数列或等比数列，同理可判断{△2an}是否为等差或等比数列．

解：（1）△an=an+1-an=（n+1）2+（n+1）-（n2+n）=2n+2，
∴{△an}是首项为4，公差为2的等差数列．△2an=2（n+1）+2-（2n+2）=2，
∴{△2an}是首项为2，公差为0的等差数列；
也是首项为2，公比为1的等比数列．

追问

貌似不是回答的这一题

追答

依定义展开
△^2a(n)-△a(n+1)+a(n)=-2^n
△(△a(n))-[a(n+2)-a(n+1)]+a(n)=-2^n
△(a(n+1)-a(n))-(a(n+2)-a(n+1)]+a(n)=-2^n
[a(n+2)-a(n+1)-a(n+1)+a(n)]-(a(n+2)-a(n+1)]+a(n)=-2^n
-a(n+1)+2a(n)=-2^n
a(n+1)-2a(n)=2^n
a(n+1)/2^(n+1)-a(n)/2^n=1/2
a(n)/2^(n)-a(n-1)/2^(n-1)=1/2
...
a(2)/4-a(1)/2=1/2
各式相加得
a(n)/2^n-a(1)/2=(n-1)/2
a(n)=2^n*n/2
a(n)=n*2^(n-1)

追问

别去复制别人的答案，这个我搜到了的，和我的问题不一样，谢谢。

追答

哦，那我就不知道了

追问

嗯 还是谢谢了

Answer 2

依定义展开
△^2a(n)-△a(n+1)+a(n)=-2^n
△(△a(n))-[a(n+2)-a(n+1)]+a(n)=-2^n
△(a(n+1)-a(n))-(a(n+2)-a(n+1)]+a(n)=-2^n
[a(n+2)-a(n+1)-a(n+1)+a(n)]-(a(n+2)-a(n+1)]+a(n)=-2^n
-a(n+1)+2a(n)=-2^n
a(n+1)-2a(n)=2^n
a(n+1)/2^(n+1)-a(n)/2^n=1/2
a(n)/2^(n)-a(n-1)/2^(n-1)=1/2
...
a(2)/4-a(1)/2=1/2
各式相加得
a(n)/2^n-a(1)/2=(n-1)/2
a(n)=2^n*n/2
a(n)=n*2^(n-1)

追问

别去复制别人的答案，这个我搜到了的，和我的问题不一样，谢谢。

追答

由△2an-△an+1+an=-2n及△2an=△an+1-△an，
得△an-an=2n，
∴an+1-2an=2n，
∴
an+1
2n+1
-
an
2n
=
1
2

∴数列{
an
2n
}是首项为
1
2
，公差为
1
2
的等差数列，
∴
an
2n
=
1
2
+(n-1)×
1
2
，
∴an=n•2n-1．
（Ⅱ）∵b1Cn1+b2Cn2+b3Cn3+…+bn-1Cnn-1+bnCnn=an，
∴b1Cn1+b2Cn2+b3Cn3+…+bn-1Cnn-1+bnCnn=n•2n-1．
∵kCnk=nCn-1k-1，
∴C1n+2C2n+3C3n+…+(n-1)Cn-1n+nCnn=nC0n-1+nC1n-1+nC2n-1+…+nCn-1n-1=n(C0n-1+C1n-1+C2n-1+…+Cn-1n-1)=n•2n-1.
∴bn=n．