Question

如图，正方形ABCD中，E、F为BC、CD上两点，且∠EAF=45°，①求证：EF=BE+DF. ②以上命题的逆命题是否成立

Answer 1

你好！
①证明：延长CB至G，使BG=FD，连接AG。
因为BG=FD，AD=AB，∠ABG=∠D=90°
∴△ABG≌△ADF（SAS）
∴AF=AG，∠BAG=∠DAF
∵∠EAF=45°
∴∠DAF+∠ABE=45°
∴∠EAG=45°=∠EAF
∵AF=AG，AE公共边
∴△AEG≌△AEF（SAS）
∴EF=EG
∴EF=BE+DF
②逆命题也成立。证明如下：
延长CB至G，使BG=FD，连接AG
因为BG=FD，AD=AB，∠ABG=∠D=90°
∴△ABG≌△ADF（SAS）
∴AF=AG，∠BAG=∠DAF
∵EF=BE+DF
∴EF=EG
∵AF=AG，AE公共边
∴△AEG≌△AEF（sss）
∴∠EAG=∠EAF
∵∠BAG=∠DAF
∴∠EAF=∠DAF+∠ABE
∵∠EAF+∠DAF+∠ABE=90°
∴∠EAF=45°
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