Question

用数学归纳法证明1+1/2+1/3+1/4=+1/2n次方-1小于等于n

Answer 1

1+1/2+1/3+1/4+...+1/(2^n-1)<=n?
证明：
（1）当n=1时，1/(2^1-1)<=1 成立；
（2）当n=2时，1+1/2+1/3<=2,也成立；
假设n=k时不等式成立，即：1+1/2+1/3+1/4+...+1/(2^k-1)<=k
则n=k+1时，1+1/2+1/3+1/4+...+1/[2^(k+1)-1]=1+1/2+1/3+1/4+...+1/[2*2^k-1]
={1+1/2+1/3+1/4+...+1/(2^k-1)}+{1/2^k+...+1/[2*2^k-1]}
<=k+{1/2^k+1/2^k+...+1/2^k}=k+(1/2^k)*2^k=k+1.
(后面这个大括号里面有2*2^k-1-2^k+1=2^k个1/2^k，不等式是因为每项的分母都比左侧后面的大括号里的小，倒数反而大)。
于是当n=k+1时，1+1/2+1/3+1/4+...+1/[2^(k+1)-1]<=k+1，
即：1+1/2+1/3+1/4+...+1/(2^n-1)<=n在n=k+1时也成立。
原问题得证。

追问

k+{1/2^k+1/2^k+...+1/2^k}=k+(1/2^k)*2^k怎么得到的

追答

{1/2^k+1/2^k+...+1/2^k}
后面的括号里已经解释过了：有2^k个1/2^k，相加后就是1.
为什么是2^k个呢？
因为{1/2^k+...+1/[2*2^k-1]}
是从1/2^k加到1/[2*2^k-1]，分母每次加1.从2^k到2*2^k-1一共是（末项-首项+1）个，即：
2*2^k-1-2^k+1=2*2^k-2^k=2^k项。
这2^k项每一项的分母都比{1/2^k+1/2^k+...+1/2^k}中的分母大（因为分母在+1），分子是1不变，所以分数的值小。

Answer 2

题目没看明白+1/2n次方-1是什么意思

追问

分子上是1分母是（2的n次方）-1

追答

你确定这题目对吗。左边没有n右边有n是不会相等的