Question

已知a∈R,函数f(x)=a/x+lnx-1,g(x)=xlnx-2x(其中e为自然对数的底数)。

（1）求函数g(x)的单调区间；
（2）若a＞0，求函数f(x)在区间（0，e】上的最小值；

（3）是否存在实数x0∈【1/2,e】，使曲线h(x)=g(x)+lnx在x=x0处的切线与直线kx-y=0平行？若存在，有几条这样的切线；若不存在，请说明理由（ln2≈0.693，e≈2.718）.

Answer 1

（1）g'(x)=ln(x)-1，所以x>e时单调增，x<e时单调减
（2）f'(x)=-a/x²+1/x=(x-a)/x²，如果a<e，则最小值在x=a处取得，为ln(a)；如果a>e，则最小值在x=e处取得，为a/e。
（3）h'(x)=ln(x)-1+1/x。

h''(x)=1/x-1/x²=(x-1)/x²

所以h'(x)最小值为x=1时取得的0，h'(1/2)=1-ln(2)~=0.3068，h'(e)=1/e~=0.3678，所以最大值为0.3678。

当k<0时，无解。
当k=0时，一个解。
当0<k<=0.3068，两个解。
当0.3068<k<=0.3678，一个解。
当k>0.3678，无解。

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