Question

设a、b、c为不全相等的正数，且abc=1。求证：ab+bc+ca>√a+√b+√c。

Answer 1

∵a、b、c是有序的正数，∴1/√a、1/√b、1/√c也是有序的正数，
由排序不等式：顺序和不小于乱序和，有：
（1/√a）（1/√a）＋（1/√b）（1/√b）＋（1/√c）（1/√c）
≧（1/√a）（1/√b）＋（1/√b）（1/√c）＋（1/√a）（1/√c），
∴1/a＋1/b＋1/c≧1/√（ab）＋1/√（bc）＋1/√（ac）。

∵abc＝1，∴√（abc）＝1。
∴（abc）/a＋（abc）/b＋（abc）/c
≧√（abc）/√（ab）＋√（abc）/√（bc）＋√（abc）/√（ac），
∴bc＋ac＋ab≧√c＋√a＋√b。

考虑到a、b、c不全相等，∴ab＋bc＋ac＞√a＋√b＋√c。

Answer 2

证明 ：由题意知 右边=bc+ac+ab =(bc+ac)/2+(bc+ab)/2+(ac+ab)/2>=√c√abc+√b√abc+√c√abc
=√a+√b+√c 当且仅当a=b=c时 等号成立 又abc不全相等 所以 不能取等号
即 ：√a+√b+√c<1/a+1/b+1/c

Answer 3

a、b、c为不全相等的正数，且abc=1
ab+bc>2√ab^2c =2√b (1)
bc+ca>2√abc^2=2√c (2)
ab+ca>2√a^2bc=2√a (3)
(1)+(2)+(3)得2ab+2bc+2ca>2√a+2√b+2√c
ab+bc+ca>√a+√b+√c。