Question

解可降阶的高阶方程

（2）2y″+5y′=5x^2
(3)y″+2y′=4

Answer 1

（2）令y'=p,则2p'+5p=5x^2 (1)
齐次方程2p'+5p=0的通解为 P=Ce^(-5x/2)
设非齐次方程(1)的解为 p=u(x)*e^(-5x/2)
则 p'=(u'-5/2*u)e^(-5x/2)，代入方程(1)可得
2u'=5x^2*e^(5x/2)，积分可得
u=(x^2-4x/5+8/25)*e^(5x/2)+C，可得非齐次方程(1)的通解为
y'=p=(x^2-4x/5+8/25)+Ce^(-5x/2)，再对x积分可得原方程通解为
y=(x^3/3-2x^2/5+8x/25)-2/5*Ce^(-5x/2)+C2
=(x^3/3-2x^2/5+8x/25)+C1e^(-5x/2)+C2
（3）令y'=p，可得p'+2p=4 (1)
齐次方程p'+2p=0的通解为 P=Ce^(-2x)
易知方程(1)的一个特解为 p*=2
∴方程(1)的通解为 y'=p=P+p*=2+Ce^(-2x)
再次积分可得原方程通解为
y=2x-1/2*Ce^(-2x)+C2
=2x+C1e^(-2x)+C2

Answer 2

(2)
y'=x^2-4/5x+8/25
y''=2x-4/5
(3)
y'=2, y''=0
或:y'=2+e^(-2x), y''=-2*e^(-2x)

Answer 3

546456546