Question

在四棱锥C-ABDE中,△ABC为正三角形,AE⊥平面ABC,BD‖AE,M为CD中点,BD=BC=2AE=2.(1)求证EM⊥平面BCD

（2）求二面角M-AB-C的正切值
要有过程的

Answer 1

你好！
（1）证明:作EF∥AB交BD于F，连接MF
∵AE⊥平面ABC
∴AE⊥AB
∵EF∥AB，BD‖AE，AE⊥AB
∴四边形ABEF为矩形
∴EF=AB=2，BF=AE=1
∴FD=1
∴DE=√（FD²+EF²）=√5
∵AE⊥平面ABC
∴AE⊥AC
∴CE=√（AC²+AE²）=√5=DE
∴EM⊥CD——————————————————————①
∵BF=FD，CM=MD
∴MF∥BC 由BD垂直平面ABC得BD⊥BC
∴BD垂直MF
∴BD⊥平面EMF
∴BD⊥EM————————————————————②
∴EM⊥平面BCD
（2）解：由EF∥AB，MF∥BC知平面MFE∥平面ABC
所以M在平面AEDB上的射影N在EF上。
∵∠MFE=∠ABC=60°
所以MN=（√3）/2MF=（√3）/2
所以tan二面角M-AB-C=cot二面角M-AB-D=（2/3）√3
即三分之二根号3