Question

四棱柱A1B1C1D1-ABCD中 底面ABCD为边长为2的菱形 侧棱长为3 且∠B1BA=∠B1BC=∠ABC=60°

1.求证：AC⊥平面B1BDD1；
2.求BC1与平面ABCD所成角的正弦值

Answer 1

（1）连接AC、BD交于E，则AC⊥BD（菱形对角线性质）

连接B1A、B1C，易知⊿ABB1≌⊿CBB1，则B1A=B1C

连接B1E，显然E为AC中点，则AC⊥B1E（三线合一）

又因BD交B1E于平面B1BDD1

则AC⊥平面B1BDD1

 

（2）在⊿ABB1中，由余弦定理易知B1A=√7

在RT⊿AEB1中，由勾股定理易知B1E=√6

在RT⊿AEB中，由勾股定理易知BE=√3

在⊿BB1E中，因BE^2+B1E^2=BB1^2，则由勾股定理知B1E⊥BE（BD）

由（1）知AC⊥平面B1BDD1

而B1E⊂平面B1BDD1

则B1E⊥AC

又AC交BD于平面ABCD

则B1E⊥平面ABCD

 

连接AD1，易知BC1//AD1

则BC1与平面ABCD所成角即AD1与平面ABCD所成角

过D1作D1H//B1E交BD延长线于H，显然D1H⊥平面ABCD

连接AH，则AD1与平面ABCD所成角为∠D1AH（令为θ）

 

在⊿ADD1中，易知∠ADD1=180°-60°=120°（等角，互补）

由余弦定理知AD1=√19

而易知EHD1B1为矩形

则D1H=B1E=√6

在RT⊿AHD1中，由三角函数定义知sinθ=D1H/AD1=√114/6

Answer 2

1.先画个图
∵BD∈ABUD,B1D1∈A1B1C1D1而面ABCD∥面A1B1C1D1
∴BD∥B1D1
又∵AC⊥BD(菱形性质）
∴AC⊥面B1BDD1
2.(略)好久没碰数学了，稍微难的就不行了。