Question

函数极限的问题

当x趋于X0，求f（x）的极限。
这个极限啊，是不是就相当于将X0代入f（x）的函数求得的值。
而没有极限，就相当于X0不在f（x）的定义域内？
这是我个人的歪理，别批判我啊！

Answer 1

1）当x趋于X0，f（x）的极限存在与否
与X0在与不在f（x）的定义域内是无关的
2）极限存在时，x0在定义域内，极限值也不一定是f(x0)

例1
lim(x-->1) (x²+x-2)/(x-1)
=lim(x-->1)(x+2)=3
【极限存在，但1不在定义域内】

例2
f(x)={ (x²+x-2)/(x-1) (x≠1)
{ 0 (x=1)
lim(x-->1)f(x)=3
【1在定义域内，极限存在，但极限值不等于f(1)】

例3
f(x)=｛x+1 （x≥1)
｛x (x<0)
lim(x-->1+)f(x)=2
lim(x-->1-)f(x)=1
左右极限不相等，lim(x-->1)f(x)不存在
【1在定义域内，极限不存在】

追问

亲，你说我该怎么才能正确理解极限这个问题呢？

追答

这里就不说严格的定义了，我的理解，
函数的极限是当x无限趋近于x0时，
f(x)的趋近的趋势，或叫做目标，
这个目标是个常数，这个常数存在，
就是有极限，这个常数不存在，那么
就没极限。
这个目标不一定是f(x0),

当lim(x-->0)f(x)=f(x0)时，函数连续

Answer 2

我也觉得大概就是这样。
但有一些需要区分的地方，比如y=1/x这个函数，
若x从y轴左侧趋向于0，则其极限是-∞
若x从y轴右侧趋向于0，则其极限是+∞

至于有没有极限可能是这样理解的，当x趋于某数，y可以趋于某数或无穷，就叫有极限，把此点的值代入就成，但如果“断了”就没有极限了

Answer 3

极限就是无限趋近，但又不等于，你这样求极限是不行的，因为涉及的趋近的快慢问题。