Question

函数f(x)=lnx+x²-2ax+a²，a∈R。求f（x）的极值点。 望详解

Answer 1

f(x)=lnx+x²-2ax+a²，a∈R
所以 x>0
令 f(x)‘=1/x+2x-2a=0
1+2x²-2ax=0
△=4a²-8
所以 当 a>=根号2 时，x=【a±根号下（a²-2）】/2时，f（x）取得极值，f（x）=带入原函数方程即可；
当 a<= - 根号2时，x=【a±根号下（a²-2）】/2恒小于0，不符合x取值范围；
当 根号2> a>-根号2 时， f(x)‘=0无解，f（x）无极值

Answer 2

f(x)=lnx+x²-2ax+a²
so. f'(x)=1/x +2x-2a
极值点满足 f'(x)=0,求解方程等价于2x²-2ax+1=0 （*）

△=4a²-8
当a=0时候，f'(x)>0, 函数单调无极值点；
当a∈（-√2,√2）时，（*）无解，函数单调自增，无极值点；
当a=±√2，（*）有两相同实根，极值点唯一为 X=a/
a属于其他情况时，（*）有两不同实根，极值点分别为 X=(2a±√(4a²-8))/4