Question

请教一个隐函数求导问题:

设P（4，-1）为椭圆x^2/6+y^2/3=1外的一点，过P做椭圆的切线，求切线方程

Answer 1

设P(4，-1)为椭圆x²/6+y²/3=1外的一点，过P做椭圆的切线，求切线方程

解：将椭圆方程两边对x求导，得(1/3)x+(2/3)yy'=0，故得椭圆的导函数y'=-x/(2y)；
设椭圆上的切点的坐标为(m，n)，那么有等式：
(n+1)/(m-4)=-m/(2n)，即有2n(n+1)=-m(m-4)，2n²+2n+m²-4m=0..........(1)
切点(m，n)在椭圆上，故其坐标满足椭圆方程，即有：
m²/6+n²/3=1，也就是有m²+2n²=6..........(2)
将(2)代入(1)式得6+2n-4m=2(3+n-2m)=0，即有3+n-2m=0，故得n=2m-3......(3)
将(3)代入(2)得m²+2(2m-3)²=9m²-24m+18=6，即有9m²-24m+12=3(3m²-8m+4)=3(3m-2)(m-2)=0
故得m₁=2/3；m₂=2；相应地，n₁=2m₁-3=4/3-3=-5/9；n₂=2m₂-3=4-3=1；
于是得切线的斜率k₁=(n₁+1)/(m₁-4)=(-5/9+1)/(2/3-4)=-2/15；
k₂=(n₂+1)/(m₂-4)=(1+1)/(2-4)=-1；
于是的切线方程为y=-(2/15)(x-4)-1=-(2/15)x-7/15，写成一般形式就是：2x+15y-7=0；
及y=-(x-4)-1=-x+3，写成一般式就是x+y-3=0；

追问

嗯，了解了。其中一个切线方程你计算错了…… 应该是x-5y=9

追答

倒数第二行：应该是 2x+15y+7=0；
你的x-5y=9肯定是错的！因为这条直线不过P(4，-1)点。
画一个图，作出两条切线，你就可看到两个切点(2，1)和(2/3，-5/9)
与图形一致！

Answer 2

个人感觉隐函数求导反而麻烦了，设个直线带进去还快一点吧

Answer 3

这道题求导很容易，学了时间长了忘了，，我建议你将切线的方程设出来，然后和椭圆的方程联立消元，判别式等于零就可以求出切线方程了。这是高中最基本的方法，，隐函数求导好像在大学的数学分析中才学，，我大学打了酱油了，，你若敢兴趣可以找来看看，，，，，

Answer 4

（x^2）/6+（y^2）/3=1

两边分别对x求导得：
x/3 +(dy/dx)*2y/3=0
因P（4，-1）为椭圆x^2/6+y^2/3=1外的一点

代入 4/3 -2/3*dy/dx=0
得dy/dx=2
切线方程 y+1=2*(x-4)

y+1=2x-8
y=2x-9
希望我的回答对你有帮助，谢谢