Question

x^2dy+(2xy-x+1)dx=0的通解 急求详细点的答案！

Answer 1

你好！这个算是求高数里的全微分方程的解的问题了。你可以参看《大学数学》-微积分 下册（第二版）高等教育出版社 由吉林大学数学学院 李辉来 郭华主编的。 这本书的第七章第四节里的内容。
（2xy-x+1）dx + x^2dy =0. 令P（x,y）=2xy-x+1;Q(x,y)=x^2, 由于P(x,y)，Q(x,y)∈C(1)（R^2）,并且P对y的偏微分=Q对x的偏微分=2x. 因此原方程为全微分方程。利用公式 u(x,y)=∫P(x,y0)dx(从xo到x的积分)+∫Q(x,y)dy（从y0到y 的积分）=C（C为任意常熟）。在此我们取x0=0,y0=0, 带入公式，求得 (-1/2) x^2+x+2xy=C （C为任意常熟） 。 这就是原方程的隐式通解。
由于本人技术不高，个别数学专用符号不会打，希望能够看懂。

Answer 2

x² dy + (2xy - x + 1) dx = 0
x²y' = x - 2xy - 1
y' = 1/x - 2y/x - 1/x²
y' + 2y/x = 1/x - 1/x²
积分因子:e^∫ 2/x dx = e^2lnx = x²,乘以两边
x²y' + 2xy = x - 1
(x²y)' = x - 1
x²y = x²/2 - x + C
y = 1/2 - 1/x + C/x²