Question

已知函数f(x)=(a-1)x^2+2lnx,g(x)=2ax，其中a>1， 求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程

已知函数f(x)=(a-1)x^2+2lnx,g(x)=2ax，其中a>1， 求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程 设函数h(x)=f(x)-g(x)，求h(x)的单调区间

Answer 1

对f(x)求导得：y'=2(a-1)x+2/x
f(1)=a-1,则在(1,a-1)处的斜率K=2a
则切线方程为y-(a-1)=K(x-1)

h(x)的导数为h'(x)=2(a-1)x+2/x-2a
令h'(x)=0得(a-1)x^2-ax-1=0
解方程，分三种情况讨论：
当1<a<2时：x1=1，x2=1/(a-1)
在0到x1、x2到正无穷时， h'(x)>0，h(x)递增
在x1到x2 h'(x)<0，h(x)递减

当a=2时，h'(x)恒大于等于零，h(x)递增

当a>2时：x1=a/(a-1)，x2=1
在0到x1、x2到正无穷时，h'(x)>0，h(x)递增
在x1到x2 h('x)<0，h(x)递减