Question

与椭圆C：y²/16 + x²/12 = 1 共焦点且过点（1，√3）的双曲线的标准方程为？

求详细解法！ 多种解法！

Answer 1

由椭圆得知，ae=√(16-12)=2 ，即焦点坐标为（0,2）,(0,-2)
依照焦点的位置，设双曲线的标准方程式为y²/a² - x²/b² = 1

根据定义，
b²=a²(e²-1)
b²=a²e²-a² （上面已知ae=√(16-12)=2 ）
b²=4-a²----------------------@

因为过点（1，√3），
所以
√3²/a² - 1²/b² = 1
3/a²-1/b²=1
3b²-a²=a²b²
3b²=a²b² +a² （代@入）

3(4-a²)=a²（4-a²）+a²

12-4a²=a²（4-a²）
a^4-8a²+12=0
(a²-6)(a²-2)=0
a²=6 或 a²=2

得知b²=-2 (此答案为椭圆，不符合，无解） 或b²=2

因此双曲线的方程为
y²/2 - x²/2 = 1