Question

如图，平行四边形ABCD中，M,N分别是AD和BC的中点，O是AC和BD的交点，求证：M,O,N三点共线

Answer 1

证明：∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，AB∥CD，
在ΔABD中，∵M、O分别为AD、BD的中点，∴MO∥AB，
在ΔBCD中，∵N、O分别为BC、BD的中点，∴ON∥CD，
∴ON∥AB，
∴OM、ON都过O，并且都与AB平行，
根据平行线公理(过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行)：
M、O、N三点共线。

还可以如下证明：
∵OM∥AB，∴∠DBA=∠DOM，
∵ON∥CD，∴∠CDO+∠DON=180°，
∵ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠DBA=∠CDO，
∴∠DOM+∠DON=180°，
∴M、O、N三点共线。