Question

抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，-3），B（3，-3）和原点，顶点为M点．

（1）求该抛物线的解析式
（2）试判断抛物线上是否存在一点P，使∠POM=90。若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．
（3）试判断抛物线上是否存在一点k，使∠oMK=90。说明理由
要详细步骤，前两问给个答案就行，主要是第三问！！！拜托各位高手快点啊！
你们求的好像不对啊，要利用三角形相似证明，有没有人会啊？！

Answer 1

（1）抛物线过原点，所以 c=0，将A、B坐标代入方程可得：a+b=-3，9a+3b=-3；
解得 a=1，b=-4；∴ 解析式为 y=x²-4x；
（2）抛物线顶点M(2,-4)，∠POM=90°，即 OP⊥OM；
直线OM的斜率 k=-4/2=-2，则直线OP的斜率为 1/2，于是 OP的方程：y=x/2；
将直线OP方程代入抛物线：x/2=x²-4x，除 x=0 外，该方程还有一根是9/2，说明OP与抛物线有交点满足题目条件；
（2）过M点与OM垂直的直线如与抛物线相交（除M外至少还有一交点），则交点即符合K的条件；
过M(2,-4)的直线NK方程为：y=(x-2)/2-4=x/2-5，将其代入抛物线方程得：
x/2-5=x²-4x，解得：x=5/2（另有x=2对应M点）；

或者这样判断：过M点与OM垂直的直线如不是抛物线的切线，则它一定与抛物线还有交点，即K点一定存在；
因为M点是抛物线的顶点，切线斜率为0，而与OM垂直的直线MK斜率是1/2，所以MK不是切线；

Answer 2

1 解析式为y=（x-2）²-4
2 p（7／2；7／4）
3 连接op，当∠omp=90°时 op∥mk 直线op为y=1／2 ·x 设直线mk为y=1／2·x+k 带入m（2,4）得y=1／2·x-5 联立y=（x-2）²-4 所以⊿﹤0 故K点不存在。

追问

第三问用三角形相似的话怎么做？

Answer 3

不好意思，我搞错了，学学挺好。

追问

那怎么做？老师说用相似。第三问详细一点，谢谢！

追答

1. y=（x-2）²-4
2. p（9／2；9／4）
3. 假设存在K点（x，y），
M (2，-4)
Lok²=Lom²+Lmk²
X²+Y²=2²+(_4)²+(X-2)²+{Y-(-4)}²
得y=(x-10)/2-------------------------------------- 1----------
y=（x-2）²-4---------------------------------------2-------
由1和2得
x/2-5=x²-4x
x²-9x/2+5=0
解得
x=2,x=5/2
x=5/2 时 y=-15/4
存在一点k，使∠oMK=90