Question

过抛物线y^2=4x（p>0）的焦点F作直线交抛物线于A(x1,y1)B(x2,y2)两点。

（1）证：以AB为直径的圆与准线相切
（2）证：y1y2及x1x2都为定值。

Answer 1

1.
F(1,0)
AB=x1+1+x2+1=x1+x2+2
AB中点M Mx=(x1+x2)/2
作MN垂直准线x=-1于N
MN=Mx+1=AB/2
MA=MB=MN
所以，以弦为直径的圆与直角梯形的直边腰（也就是准线）相切。
2
过抛物线y^2=4x
焦点坐标F（1，0)
设直线斜率k：
y=k(x-1),代入y^2=4x：
[k(x-1)]^2=4x
k^2x^2 - (2k^2+4)x + k^2 = 0
根据韦达定理：x1x2 = k^2/k^2 = 1 = 定值，得证。
要算y1y2 就把y=k(x-1),x用y 表示出来 结果 y1y2 等于 -4

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